Дрыхнуть без задних ног - как объясняли, когда животное встает после сна, то оно сначала встает на передние ноги, а уж потом - на заднии. То есть, в процессе глубокого сна задние ноги как бы отнимаются. И факт "отъема" свидетельствует о глубине сна.
Верста коломенская - когда-то в подмосковном поселке Коломенское была резиденция Алексея Михайловича Романова, второго царя из династии Романовых, отца Петра Первого. И вот дорогу от Москвы до Коломенского, поскольку то была правительственная трааса оснастили верстовыми столбами в порядке повышения ее престижа. Мало того, раз уж то дорога номер один, так и верстовые столбы поставили более высокие, чем на простых дорогах.
Всыпать по первое число - в старину в школах, в виде отдельной дисциплины, существовала порка розгами. Раз в неделю, всех учеников, в порядке профилактики от лени и прочих нарушений безобразий. Но ежели ученик действительно совершал нечто нехорошее, то ему и всыпали столько, что хватало аж до первого числа следующего месяца.
Тихой сапой - "сапа" - это искаженное итальянское "заппа" - лопата. И этот термин существовал у военных и обозначал потайные земляные работы. А уж потом... Подкрались штатские шпаки и поперли у доблестных саперов это выражение.